Question

【題目】已知函數，.

（l）設，討論函數的單調性；

（2）若函數的圖象在上恒在軸的上方，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）先求導函數，然后通過對和討論，判斷導函數的正負，從而可求出函數的單調區間；

（2）“若函數的圖象在上恒在軸的上方”等價于“不等式在上恒成立”， 即不等式在上恒成立，即不等式可轉化為在上恒成立，然后構造函數，只需在上最大值小于零即可，從而可求出的取值范圍.

（1），，

.

①若，，，函數的單調減區間是，無單調增區間；

②若，令，得；

令，得，

所以函數的單調減區間是，單調增區間是.

綜上所述，若，函數的單調減區間是，無單調增區間；

若，函數的單調減區間是，單調增區間是.

（2）“若函數的圖象在上恒在軸的上方”等價于“不等式在上恒成立”，

即不等式在上恒成立，

即不等式可轉化為在上恒成立.

令，

則.

①若，則，在上單調遞減，

所以，不等式恒成立等價于，即；

②若，則，當時，，當時，，

在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，不符合題意；

③若，當時，，在上單調遞增，

所以，不符合題意.

綜上所述，實數的取值范圍是.