Question

【題目】已知函數,,．

當時,求函數的單調區間,并求出其極值；

若函數存在兩個零點,求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調增區間為（-∞，-1）和（0，+∞）；單調減區間為（-1，0）．極大值為；極小值為f（0）=0．（2）（-∞，0）.

【解析】

（1）先求導數，再求導函數零點，根據導函數符號變化規律，確定單調區間與極值，（2）先求導數，再結合導函數零點，根據k的值分五種情況分類討論，結合對應函數單調性以及極值正負確定零點個數，即得結果.

解：（1）當k=1時，，

∴f'（x）=（x+1）ex-（x+1）=（x+1）（ex-1），

故x∈（-∞，-1）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；

x∈（-1，0）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；

x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數.

故函數f（x）的單調增區間為（-∞，-1）和（0，+∞）；單調減區間為（-1，0）．

所以函數的極大值為；極小值為f（0）=0．

（2）由已知，，g（x）=kex-x，

∴，

∴F'（x）=kxex-x=x（kex-1）.

①當k＜0時，F（x）在（-∞，0）為增，在（0，+∞）為減，且注意到F（0）=-k＞0，函數F（x）的圖象兩邊向下無限伸展，故此時F（x）存在兩個零點，適合題意．

②當k=0時，在（-∞，0）為增，在（0，+∞）為減，且F（0）=0，故此時F（x）只有一個零點．

③當k=1時，,故函數（-∞，+∞）為增，易知函數F（x）只有一個零點．

④當k∈（0，1）時，，F（x）在（-∞，0）為增，為減，為增，且F（0）=-k＜0易知F（x）只有一個零點．

⑤當k∈（1，+∞）時，，F（x）在為增，為減，（0，+∞）為增，且，F（0）=-k＜0易知F（x）只有一個零點．

綜上，k的取值范圍是（-∞，0）.