Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱AA1⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=1，E，F分別是CC1 ， BC的中點．
（Ⅰ）求證：B1F⊥平面AEF；
（Ⅱ）求三棱錐E﹣AB1F的體積．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）由條件知AF⊥平面CCBB1 ， ∴AF⊥B1F， 由∠BAC=90°，且AB=AA1=1，得 ，EF= ， ，
∴ ，即B1F⊥EF，又∵EF∩AF=F，
∴B1F⊥平面AEF；
（Ⅱ）解：由已知可得，AF= ，且由（Ⅰ）知AF⊥FE，
∴ ，
∴ ．

【解析】（Ⅰ）證明AF⊥B1F，B1F⊥EF，然后證明B1F⊥平面AEF；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B1F⊥平面AEF，然后利用等積法求得三棱錐E﹣AB1F的體積．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的判定，需要了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能得出正確答案．