Question

【題目】如圖所示，某村積極開展“美麗鄉村生態家園”建設，現擬在邊長為1千米的正方形地塊ABCD上劃出一片三角形地塊CMN建設美麗鄉村生態公園，給村民休閑健身提供去處．點M，N分別在邊AB，AD上． （Ⅰ）當點M，N分別是邊AB，AD的中點時，求∠MCN的余弦值；
（Ⅱ）由于村建規劃及保護生態環境的需要，要求△AMN的周長為2千米，請探究∠MCN是否為定值，若是，求出此定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當點M，N分別是邊AB，AD的中點時，設∠DCN=∠BCM=θ， CD=BC=1，DN=BM= ，CN=CM= ，sinθ= ，cosθ= ，∠MCN= ﹣2θ，
所以cos∠MCN=cos（ ﹣2θ）=sin2θ=2sinθcosθ= ，
所以∠MCN的余弦值是 ．
（Ⅱ）設∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x，AN=y，則BM=1﹣x，DN=1﹣y，
在△CBM中，tanα=1﹣x，在△CDN中，tanβ=1﹣y，
所以：tan（α+β）= = = ，（*）
△AMN的周長為2千米，所以x+y+ =2，化簡得xy=2（x+y）﹣2，
代入（*）式，可得tan（α+β）= = = =1，
所以α+β= ，所以∠MCN是定值，且∠MCN= ．

【解析】（Ⅰ）設∠DCN=∠BCM=θ，由題意利用勾股定理可求CN=CM= ，從而可求sinθ= ，cosθ= ，∠MCN= ﹣2θ，利用誘導公式，二倍角公式即可求∠MCN的余弦值．（Ⅱ）設∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x，AN=y，可求BM=1﹣x，DN=1﹣y，tanα=1﹣x，tanβ=1﹣y，可得tan（α+β）= ，由x+y+ =2，化簡得xy=2（x+y）﹣2，求得tan（α+β）=1，即可得解∠MCN是定值，且∠MCN= ．
【考點精析】利用兩角和與差的正切公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩角和與差的正切公式：．