Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且 asinA=（ b﹣c）sinB+（ c﹣b）sinC．
（1）求角A的大小；
（2）若a= ，cosB= ，D為AC的中點，求BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

∴由正弦定理可得： a2=（ b﹣c）b+（ c﹣b）c，即2bc= （b2+c2﹣a2），

∴由余弦定理可得：cosA= = ，

∵A∈（0，π），

∴A= ．

（2）解：∵由cosB= ，可得sinB= ，

再由正弦定理可得 ，即 ，

∴得b=AC=2．

∵△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2ABACcos∠A，

即10=AB2+4﹣2AB2 ，

求得AB=32．

△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2﹣2ABADcos∠A=18+1﹣6 =13，

∴BD=

【解析】（I）由已知，利用正弦定理可得 a2=（ b﹣c）b+（ c﹣b）c，化簡可得2bc= （b2+c2﹣a2），再利用余弦定理即可得出cosA，結合A的范圍即可得解A的值．（Ⅱ）△ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值，△ABD中，由余弦定理求得BD的值．