Question

（2005•朝陽區一模）有一個正四棱錐，它的底面邊長與側棱長均為a，現用一張正方形包裝紙將其完全包住（不能裁剪紙，但可以折疊），那么包裝紙的最小邊長應為（　　）

• A．(

  2

  +

  6

  )a
• B．

  2 + 6

  2

  a
• C．(1+

  3

  )a
• D．

  1+ 3

  2

  a

Answer 1

分析：將四棱錐的四個側面沿底面展開，觀察展開圖的形狀形可得包裝紙的對角線處在如圖所示的P'P位置時，包裝紙面積最小，由此結合正三角形和正方形的性質加以計算，即可獲得問題的解答．

解答：解：由題意，得
將正四棱錐沿底面將側面都展開，得到如右圖所示的平面展開圖
可得當以P'P為正方形的對角線時所需正方形的包裝紙的面積最小，
相應地，此時包裝紙的邊長也最小．
設包裝紙正方形的邊長為x，可得P'P²=2x²，
又∵P'P=a+2×

3 a

2

，∴P'P²=（a+

3

a）²=2x²，
解之得：x=

2 + 6

2

a
故選：B

點評：本題給出正方形紙片將正四棱錐完全包住，求包裝紙的最小邊長考．著重考查了四棱錐的側面展開圖、正方形和正三角形的性質等知識，屬于中檔題．同時考查了圖形的觀察和分析能力、空間想象能力和空間問題平面化的思想，是一道值得同學們體會反思的好題．