Question

有下列命題：
①雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1有相同的焦點；
②“-

1

2

＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”必要不充分條件；
③若向量

a

，

b

共線，則向量

a

，

b

所在的直線平行；
④若向量

a

，

b

，

c

兩兩共面，則向量

a

，

b

，

c

一定也共面；
⑤?x∈R，x²-3x+3≠0．
其中是真命題的個數（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據橢圓、雙曲線的標準方程，求出它們的焦點坐標，可得①正確；根據一元二次不等式的解集和充要條件的判斷，可得②不正確；根據向量共線、共面的條件，舉出反例可得③④都不正確；由一元二次方程根的判別式，得到⑤正確．由此得到本題的答案．

解答：解：對于①，雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1的焦點為（±

34

，0）
橢圓

x2

35

+y²=1的焦點也為（±

34

，0），它們有相同的焦點，①正確；
對于②，不等式2x²-5x-3＜0的解集為{x|-

1

2

＜x＜3}，
因此“-

1

2

＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”充分不必要條件，②不正確；
對于③，若向量

a

，

b

共線，由于

a

可能是零向量，
故向量

a

，

b

所在的直線不一定平行，③不正確；
對于④，若向量

a

，

b

，

c

兩兩共面，以空間坐標系內的單位向量為例同，
它們滿足兩兩共面，但向量

a

，

b

，

c

不共面，④不正確；
對于⑤，因為方程x²-3x+3=0的根的判別式△=3²-12＜0
所以方程x²-3x+3=0沒有實數根，即?x∈R，x²-3x+3≠0，故⑤正確
綜上所述，可得只有①⑤是真命題
故選：B

點評：本題以命題真假的判斷為載體，考查了橢圓、雙曲線的標準方程，向量共線和共面的條件和一元二次方程根的判別式等知識，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題．