Question

有下列命題：
①雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同焦點；
②“-

1

2

＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”必要不充分條件；
③若

a

、

b

共線，則

a

、

b

所在的直線平行；
④若

a

，

b

，

c

三向量兩兩共面，則

a

、

b

、

c

三向量一定也共面；
⑤?x∈R，x²-3x+3≠0．
其中是真命題的有：

①⑤

．（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：根據已知中雙曲線和橢圓的標準方程，分別求出雙曲線和橢圓的焦點，可判斷①；
解不等式2x²-5x-3＜0，判斷其解集與-

1

2

＜x＜0的包含關系，結合充要條件的定義，可判斷②；
根據向量共線的定義，分析

a

、

b

所在的直線位置關系，可判斷③；
根據向量共面的定義，可判斷④；
判斷方程x²-3x+3=0根的個數，可判斷⑤

解答：解：雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1的焦點坐標為（±

34

，0）點，橢圓

x2

35

+y2=1的焦點坐標也為（±

34

，0）點，故①正確；
解2x²-5x-3＜0得-

1

2

＜x＜3，∵（-

1

2

，0）?（-

1

2

，3），故“-

1

2

＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”充分不必要條件，故②錯誤；
若

a

、

b

共線，則

a

、

b

所在的直線平行或重合，故③錯誤；
若

a

，

b

，

c

三向量兩兩共面，則

a

、

b

、

c

三向量可能不共面，如空間坐標系中三個坐標軸的方向向量，故④錯誤；
∵方程x²-3x+3=0的△=-3＜0，故方程x²-3x+3=0無實根，故⑤正確
故答案為：①⑤

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了圓錐曲線的性質，充要條件，向量共線與共面，全稱命題等知識點，難度中檔．