Question

【題目】如果存在常數（），對于任意，都有成立，那么稱該函數為“函數”.

（1）分別判斷函數，是否為“函數”，若不是，說明理由；

（2）若函數是“函數”，求實數的取值范圍；

（3）記所有定義在上的單調函數組成的集合為，所有函數組成的集合為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）是“函數”，不是“函數”；詳見解析（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據函數的定義逐個檢驗可得；

（2）根據題意可得恒成立，結合恒成立問題可求；

（3）結合單調函數的定義可證單調函數均為函數，通過特殊函數可得函數不一定是單調函數，所以可證結論.

（1）因為，所以，所以，故是“函數”； 因為不恒大于0，所以不是“函數”.

（2）因為函數是“函數”，

所以恒成立，

當時，顯然成立；當時，需要，解之得，

綜上可得.

（3）證明：若為單調遞增函數，則時，都有成立；

若為單調遞減函數，則時，都有成立；所以單調函數一定是函數，即.

反之，函數不一定是單調函數，比如，取整函數是函數，但是它不是單調函數.綜上可得.