Question

如圖，直線經過⊙上的點，并且⊙交直線于，，連接．

（I）求證：直線是⊙的切線；
（II）若⊙的半徑為，求的長．

Answer 1

（1）見解析 （2）OA=5

（1）要想證AB是⊙O的切線，只要連接OC，求證∠ACO=90°即可；
（2）先由三角形判定定理可知，△BCD∽△BEC，得BD與BC的比例關系，最后由切割線定理列出方程求出OA的長
解：（1）如圖，連接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB．∴AB是⊙O的切線；
（2）∵ED是直徑，∴∠ECD=90°∴∠E+∠EDC=90°
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E，又∵∠CBD=∠EBC，∴△BCD∽△BEC．
∴BC BE ="BD" BC ，∴BC2=BD•BE，∵tan∠CED="1" 2 ，∴CD ：EC =1： 2 ．
∵△BCD∽△BEC，∴BD ：BC =CD： EC ="1" ：2 ，設BD=x，BC=2x．又BC²=BD•BE，∴（2x）²=x•（x+6），解得x₁=0，x₂=2，∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（10分）