Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，點(diǎn)為其準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.

（1）求拋物線的方程；

（2）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，證明:為等腰直角三角形.

（3）證明：為直角三角形.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義可知，到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，得到求出參數(shù)即可求出拋物線的解析式；

（2）由（1）可得，由題意知切線的斜率存在且不為0，設(shè)為，所以切線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)求出的值，即可求出、的坐標(biāo)，即可得證；

（3）設(shè)點(diǎn)，由題意知切線的斜率存在且不為0，設(shè)為，所以切線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)求出的值，即可得證；

解：（1）根據(jù)題意可得，得，

所以拋物線的方程為.

（2）拋物線：的準(zhǔn)線方程為，

所以點(diǎn)，由題意知切線的斜率存在且不為0，設(shè)為，

所以切線方程為.

由方程組，得，

所以，

解得，解得.

不妨取，，易得為等腰直角三角形.

（3）設(shè)點(diǎn)，由題意知切線的斜率存在且不為0，設(shè)為，

所以切線方程為，

由方程組，

得，

此時(shí)

，

所以，即.

所以為直角三角形.