Question

【題目】已知等比數列{an}、等差數列{bn}，滿足a1＞0，b1=a1﹣1，b2=a2 ， b3=a3且數列{an}唯一．
（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（2）求數列{anbn}的前n項和．

Answer 1

【答案】解：（1）設等比數列{an}的公比為q，
∵b1=a1﹣1，b2=a2 ， b3=a3 ， 且{bn}為等差數列，
∴2a2=（a1﹣1）+a3 ，
即2a1q=（a1﹣1）+a1q2 ，
即（q﹣1）2=，
∵數列{an}唯一，
∴q在{q|q≠0}上只有一個解，
∴（q﹣1）2=中有一個解為q=0，
故=1，此時，a1=1，q=2；
故數列{an}是以1為首項，2為公比的等比數列，
數列{bn}是以0為首項，2為公差的等差數列；
故an=2n﹣1 ， bn=2n﹣2；
（2）anbn=（2n﹣2）2n﹣1 ，
Sn=01+22+4×4+6×8+…+（2n﹣2）2n﹣1 ，
2Sn=02+24+4×8+6×16+…+（2n﹣2）2n ，
兩式作差可得，
Sn=﹣2×2+（﹣2）×4+（﹣2）×8+…+（﹣2）×2n﹣1+（2n﹣2）2n
=（2n﹣2）2n﹣（22+23+24+…+2n）
=（n﹣1）2n+1﹣
=（n﹣2）2n+1+4．
【解析】（1）設等比數列{an}的公比為q，從而可得（q﹣1）2= ， 從而結合數列{an}唯一可得a1=1，q=2；從而解得．
（2）化簡anbn=（2n﹣2）2n﹣1 ， 結合通項公式的形式可知利用錯位相減法求其前n項和。
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．