Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+1=a2S_n+a₁，其中a₂≠0。
（I）求證：{a_n}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；
（II）若a₂＞-1，求證：并給出等號(hào)成立的充要條件。

Answer 1

證明：（I）∵S_n+1=a₂S_n+a₁，①
∴S_n+2=a₂S_n+1+a₁，②
①﹣②可得：a_n+2=a₂a_n+1
∵a₂≠0，
∴ 
∵S_n+1=a₂S_n+a₁，
∴S₂=a₂S₁+a₁，
∴a₂=a₂a₁
∵a₂≠0，
∴a₁=1
∴{a_n}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列。
（II）當(dāng)n=1或2時(shí)，等號(hào)成立
設(shè)n≥3，a₂＞-1，且a₂≠0，
由（I）知a₁=1，，
所以要證的不等式可化為（n≥3）
即證（n≥2）
a₂=1時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)
-1＜a₂＜1時(shí)，與同為負(fù)；
當(dāng)a₂＞1時(shí)，與同為正；
∴a₂＞-1且a₂≠1時(shí)，（）（）＞0，
即上面不等式n分別取1，2，…，n累加可得?
綜上，，等號(hào)成立的充要條件是n=1或2或a₂=1。