Question

【題目】如圖，四邊形是邊長為2的菱形，,E,F分別為的中點，將沿折起，使得.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）欲證平面平面，只要證面即可，由已知有,,，可證面；

(2)作，由已知可證為為二面角的平面角，在三角形中計算各邊的長度，由余弦定理求之即可；或由已知，,，,過點E 作軸面ABCE，建立如圖所示空間直角坐標系，用空間向量求之即可．

試題解析：

（1）證明：由已知,,,

面,

又CF, 面, img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/09/3091cb5b/SYS201712290946535124467089_DA/SYS201712290946535124467089_DA.019.png" width="42" height="20" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:page; -aw-rel-vpos:page; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />面DCF，

平面平面.

(2)方法①面,作，則,

即為所求二面角的平面角

,，，9分

在中，,

1

方法②由已知，,，,過點E 作軸面ABCE,

如圖，建立空間直角坐標系.

可得：E(0，0，0),A(,0，0),

C(0，1，0) ,D()

,,設平面DCA的法向量為，

解得：，

又平面DCE的法向量為，，

二面角E-DC-A的余弦值1