Question

【題目】已知橢圓E： ，圓O：x2+y2=a2與y軸正半軸交于點B，過點B的直線與橢圓E相切，且與圓O交于另一點A，若∠AOB=60°，則橢圓E的離心率為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由∠AOB=60°，可得△ABO為等邊三角形，即|AB|=a，

設直線AB的方程為y=kx+a（k＞0），

圓心到直線的距離為d= ，弦長|AB|=a=2 ，

解得k= ，

可得直線y= x+a，代入橢圓方程b2x2+a2y2=a2b2，

可得（b2+ a2）x2+ a3x+a4﹣a2b2=0，

由直線和橢圓相切，可得：△= a6﹣4（b2+ a2）（a4﹣a2b2）=0，

化簡可得b2= a2，

由b2=a2﹣c2，可得c2= a2，

即有e= ．

故選：D．