Question

給出4個命題：
（1）設(shè)橢圓長軸長度為2a（a＞0），橢圓上的一點(diǎn)P到一個焦點(diǎn)的距離是，P到一條準(zhǔn)線的距離是，則此橢圓的離心率為．
（2）若橢圓（a≠b，且a，b為正的常數(shù)）的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為d₁，d₂，則|d₁²-d₂²|為定值．
（3）如果平面內(nèi)動點(diǎn)M到定直線l的距離與M到定點(diǎn)F的距離之比大于1，那么動點(diǎn)M的軌跡是雙曲線．
（4）過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A₁、B₁，則FA₁⊥FB₁．
其中正確命題的序號依次是________．（把你認(rèn)為正確的命題序號都填上）

Answer 1

解：對于（1）：橢圓上的一點(diǎn)P到一個焦點(diǎn)的距離是，P到相應(yīng)的一條準(zhǔn)線的距離是，則此橢圓的離心率才為．本選項(xiàng)中的準(zhǔn)線不一定與焦點(diǎn)對應(yīng)，故錯；
對于（2）若橢圓（a≠b，且a，b為正的常數(shù)）的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為d₁，d₂，則|d₁²-d₂²|=4a²為定值，正確．
（3）如果平面內(nèi)動點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與M到定直線l的距離之比大于1，那么動點(diǎn)M的軌跡才是雙曲線，故錯．
對于（4）如圖：設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，∵A、B在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為A₁、B₁，
由拋物線的定義可得，AA₁=AF，∴∠AA₁F=∠AFA₁，又由內(nèi)錯角相等得∠AA₁F=∠A₁FK，
∴∠AFA₁=∠A₁FK．
同理可證∠BFB₁=∠B₁ FK．
由∠AFA₁+∠A₁FK+∠BFB₁+∠B₁FK=180°，
∴∠A₁FK+∠B₁FK=∠A₁FB₁=90°，則FA₁⊥FB₁．正確．
故答案為：（2）（4）．
分析：對于（1）：橢圓上的一點(diǎn)P到一個焦點(diǎn)的距離是，P到相應(yīng)的一條準(zhǔn)線的距離是，則此橢圓的離心率才為．；對于（2）若橢圓（a≠b，且a，b為正的常數(shù)）的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為d₁，d₂，則|d₁²-d₂²|=4a²為定值；（3）如果平面內(nèi)動點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與M到定直線l的距離之比大于1，那么動點(diǎn)M的軌跡才是雙曲線；對于（4）由拋物線的定義及內(nèi)錯角相等，可得∠AFA₁=∠A₁FK，同理可證∠BFB₁=∠B₁FK，由∠AFA₁+∠A₁FK+∠BFB₁+∠B₁FK=180°，可得答案．
點(diǎn)評：本小題主要考查雙曲線的定義、拋物線的定義、以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用、橢圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．