Question

給出4個命題：
（1）設橢圓長軸長度為2a（a＞0），橢圓上的一點P到一個焦點的距離是

2

3

a，P到一條準線的距離是

8

3

a，則此橢圓的離心率為

1

4

．
（2）若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a≠b，且a，b為正的常數）的準線上任意一點到兩焦點的距離分別為d₁，d₂，則|d₁²-d₂²|為定值．
（3）如果平面內動點M到定直線l的距離與M到定點F的距離之比大于1，那么動點M的軌跡是雙曲線．
（4）過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，若A、B在拋物線準線上的射影分別為A₁、B₁，則FA₁⊥FB₁．
其中正確命題的序號依次是

（2）（4）

．（把你認為正確的命題序號都填上）

Answer 1

分析：對于（1）：橢圓上的一點P到一個焦點的距離是

2

3

a，P到相應的一條準線的距離是

8

3

a，則此橢圓的離心率才為

1

4

．；對于（2）若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a≠b，且a，b為正的常數）的準線上任意一點到兩焦點的距離分別為d₁，d₂，則|d₁²-d₂²|=4a²為定值；（3）如果平面內動點M到定點F的距離與M到定直線l的距離之比大于1，那么動點M的軌跡才是雙曲線；對于（4）由拋物線的定義及內錯角相等，可得∠AFA₁=∠A₁FK，同理可證∠BFB₁=∠B₁FK，由∠AFA₁+∠A₁FK+∠BFB₁+∠B₁FK=180°，可得答案．

解答：解：對于（1）：橢圓上的一點P到一個焦點的距離是

2

3

a，P到相應的一條準線的距離是

8

3

a，則此橢圓的離心率才為

1

4

．本選項中的準線不一定與焦點對應，故錯；
對于（2）若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a≠b，且a，b為正的常數）的準線上任意一點到兩焦點的距離分別為d₁，d₂，則|d₁²-d₂²|=4a²為定值，正確．
（3）如果平面內動點M到定點F的距離與M到定直線l的距離之比大于1，那么動點M的軌跡才是雙曲線，故錯．
對于（4）如圖：設準線與x軸的交點為K，∵A、B在拋物線的準線上的射影為A₁、B₁，
由拋物線的定義可得，AA₁=AF，∴∠AA₁F=∠AFA₁，又由內錯角相等得∠AA₁F=∠A₁FK，
∴∠AFA₁=∠A₁FK．
同理可證∠BFB₁=∠B₁ FK．   
由∠AFA₁+∠A₁FK+∠BFB₁+∠B₁FK=180°，
∴∠A₁FK+∠B₁FK=∠A₁FB₁=90°，則FA₁⊥FB₁．正確．
故答案為：（2）（4）．

點評：本小題主要考查雙曲線的定義、拋物線的定義、以及簡單性質的應用、橢圓的簡單性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．