Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax3+bx在x=2處取得極值為﹣16
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=ax3+bx的導數(shù)為f′（x）=3ax2+b，

由于f（x） 在x=2處取得極值為﹣16

故有f（2）=﹣16，且f′（2）=0

即12a+b=0且8a+2b=﹣16，

解得a=1，b=﹣12

（2）解：由（1）知 f（x）=x3﹣12x的導數(shù)為f′（x）=3x2﹣12，

令f′（x0=0，得x1=﹣2，x2=2，

當f′（x）＞0，即x＜﹣2或x＞2時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；

當f′（x）＜0，即﹣2＜x＜2時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)．

則f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，﹣2），（2，+∞），減區(qū)間為（﹣2，2）

【解析】（1）求得函數(shù)f（x）的導數(shù)，由題意可得f（2）=﹣16，且f′（2）=0，解a，b的方程組，即可得到a，b的值；（2）求出f（x）的導數(shù)，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導數(shù)小于0，可得減區(qū)間．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．