Question

【題目】已知，其中.

（1）若，寫出的單調區間：

（2）若函數恰有三個不同的零點，且這些零點之和為-2，求a、b的值；

（3）若函數在上有四個不同零點，求的最大值。

Answer 1

【答案】（1）遞減，遞增；（2）；（3）4

【解析】

（1）由，得出函數的解析式，再做出圖像可得函數的單調區間；

（2）令，即或，再由，可得方程中有兩個不等的實根，要使函數恰有三個不同的零點，且這些零點之和為-2，，則需方程有兩個相等的實根，可建立關于的方程，解之可得的值；

（3）由，即或，設的兩根為，并且可得，的兩根為，并且可得，所以兩根中一正一負，再由均在內，得的負根，從而可得的最大值.

（1）當時，，做出圖像如下圖1所示，

所以的單調區間是：在上單調遞減，在上單調遞增；

（2）令，即，所以或，

整理得或，

因為，所以方程中恒成立，也即是一定有兩個不等的實根，

設這兩個實根為并且，要使函數恰有三個不同的零點，且這些零點之和為-2，

現需方程有兩個相等的實根，設此根為，且，

所以，即，解得，

所以的值為；

（3）若，即或，

設的兩根為，則，

的兩根為，則，所以兩根中一正一負，

，

均在內，的負根在內，

，，

所以的最大值為4.