Question

【題目】已知函數.

（1）若在處與直線相切，求的值；

（2）在（1）的條件下，求在上的最大值；

（3）若不等式對所有的都成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為；（3）．

【解析】試題分析：（1）已知“在處與直線相切”說明， ，聯立可解得；（2）要求最大值，首先通過導數研究函數在上的單調性與極值，發現在此區間上只要一個極大值點，它一定是最大值點；（3）本小題不等式恒成立問題，有兩個參數，因此要把問題進行轉化，不等式對所有的， 都成立，即對所有的， 都成立，即對所有的， 都成立，即對恒成立，即對恒成立，

即a大于等于在區間上的最大值，下面只要求得于在區間上的最大值即可．

試題解析：（1）．

由函數在處與直線相切，得，即．

解得： ．

（2）由（1）得： ，定義域為．

此時， ，令，解得，令，得．

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

所以在上的最大值為．

（3）若不等式對所有的， 都成立，

即對所有的， 都成立，

即對所有的， 都成立，

即對恒成立，

即對恒成立，

即a大于等于在區間上的最大值．

令，則，當時， ， 單調遞增，

所以， 的最大值為，即．

所以a的取值范圍為．