Question

如圖，，是拋物線(為正常數)上的兩個動點，直線AB與x軸交于點P，與y軸交于點Q，且

(Ⅰ)求證：直線AB過拋物線C的焦點；
(Ⅱ)是否存在直線AB，使得若存在，求出直線AB的方程；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）先求解直線AB的方程，來分析過定點。（2）直線方程為

試題分析：（Ⅰ）由題意知，直線的斜率存在，且不為零．
設直線的方程為： （，）
由，得．∴，  
∴． 
∵，∴，∵，∴．
∴直線的方程為：．
拋物線的焦點坐標為，∴直線過拋物線C的焦點．    
（Ⅱ）假設存在直線，使得, 即．
作軸，軸,垂足為、，
∴       
∵，        
∴==．
由，得．
故存在直線，使得．直線方程為．
點評：解決直線與拋物線的位置關系的運用問題，一般都要考查了拋物線的定義的運用，即拋物線上點到焦點的距離等于對其到準線的距離來解答，同時直線與拋物線的位置關系，也要結合設而不求的聯立方程組的思想，結合韋達定理得到根與系數的關系，進而得到證明的結論，屬于難度試題。