Question

【題目】已知拋物線C：y=2x2 ， 直線y=kx+2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交C于點N． （Ⅰ）證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行；
（Ⅱ）是否存在實數k使 ，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如圖，設A（x1 ， 2x12），B（x2 ， 2x22）， 把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0，
由韋達定理得 ，x1x2=﹣1，
∴ ，∴N點的坐標為 ．
設拋物線在點N處的切線l的方程為 ，
將y=2x2代入上式得 ，
∵直線l與拋物線C相切，
∴ ，
∴m=k，即l∥AB．
（Ⅱ）假設存在實數k，使 ，則NA⊥NB，
又∵M是AB的中點，∴ ．
由（Ⅰ）知 = ．
∵MN⊥x軸，
∴ ．
又 = ．
∴ ，
解得k=±2．
即存在k=±2，使 ．

【解析】（1）設A（x1 ， 2x12），B（x2 ， 2x22），把直線方程代入拋物線方程消去y，根據韋達定理求得x1+x2和x1x2的值，進而求得N和M的橫坐標，表示點M的坐標，設拋物線在點N處的切線l的方程將y=2x2代入進而求得m和k的關系，進而可知l∥AB．（2）假設存在實數k，使 成立，則可知NA⊥NB，又依據M是AB的中點進而可知 ．根據（1）中的條件，分別表示出|MN|和|AB|代入 求得k．