Question

（1）設x＞y＞z，n∈R^*，且

1

x-y

+

1

y-z

≥

n

x-z

恒成立，求n的最大值．
（2）已知函數f（x）=2x的反函數是f^-1（x），若f^-1（a）+f^-1（b）=4（a，b∈R^*），求

1

a

+

4

b

的最小值．

Answer 1

分析：（1）由x＞y＞z，n∈R*原不等式可等價變形為n≤

x-z

x-y

+

x-z

y-z

再配湊為

x-z

x-y

+

x-z

y-z

=

x-y+y-z

x-y

+

x-y+y-z

y-z

，利用基本不等式求最值．
（2）反函數f-1(x)=

x

2

．f-1(a)+f-1(b)=

a

2

+

b

2

=4，a+b=8．從而，

1

a

+

4

b

=

1

8

(a+b)(

1

a

+

4

b

)=

1

8

(1+4+

b

a

+

4a

b

)≥

1

8

(5+2

b a • 4a b

)=

9

8

．

解答：解：（1）∵x＞y＞z，n∈R*∴原不等式可等價變形為n≤

x-z

x-y

+

x-z

y-z

x-z

x-y

+

x-z

y-z

=

x-y+y-z

x-y

+

x-y+y-z

y-z

=1+

y-z

x-y

+

x-y

y-z

≥2

y-z x-y • x-y y-z

+2=4，∴n不能大于

x-z

x-y

+

x-z

y-z

的最小值4，∴n的最大值是4．
（2）由函數f（x）=2x可得，反函數f-1(x)=

x

2

．
∴f-1(a)+f-1(b)=

a

2

+

b

2

=4，a+b=8．從而，

1

a

+

4

b

=

1

8

(a+b)(

1

a

+

4

b

)=

1

8

(1+4+

b

a

+

4a

b

)≥

1

8

(5+2

b a • 4a b

)=

9

8

．

點評：本題考查基本不等式的應用：求最值．基本不等式求最值時要注意三個原則：一正，即各項的取值為正；二定，即各項的和或積為定值；三相等，即要保證取等號的條件成立