Question

（2013•湖北）設x，y，z∈R，且滿足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=

14

，則x+y+z=

3 14

7

．

Answer 1

分析：根據柯西不等式，算出（x+2y+3z）²≤14（x²+y²+z²）=14，從而得到x+2y+3z恰好取到最大值

14

，由不等式的等號成立的條件解出x=

14

14

、y=

14

7

且z=

3 14

14

，由此即可得到x+y+z的值．

解答：解：根據柯西不等式，得
（x+2y+3z）²≤（1²+2²+3²）（x²+y²+z²）=14（x²+y²+z²）
當且僅當

x

1

=

y

2

=

z

3

時，上式的等號成立
∵x²+y²+z²=1，∴（x+2y+3z）²≤14，
結合x+2y+3z=

14

，可得x+2y+3z恰好取到最大值

14

∴

x

1

=

y

2

=

z

3

=

14

14

，可得x=

14

14

，y=

14

7

，z=

3 14

14

因此，x+y+z=

14

14

+

14

7

+

3 14

14

=

3 14

7

故答案為：

3 14

7

點評：本題給出x、y、z的平方和等于1，在x+2y+3z恰好取到最大值

14

的情況下求x+y+z的值．著重考查了運用柯西不等式求最值的方法，屬于中檔題．抓住柯西不等式的等號成立的條件，是本題得以解決的關鍵．