Question

（2012•河北區一模）已知向量

a

=（x+z，3），

b

=（2，y-z），且

a

⊥

b

．若x，y滿足不等式|x|+|y|≤1，則z的取值范圍為

[-3，3]

．

Answer 1

分析：根據平面向量的垂直的坐標運算法則，我們易根據已知中的條件構造出一個關于x，y，z的方程，即關于Z的目標函數，畫了約束條件|x|+|y|≤1對應的平面區域，并求出各個角點的坐標，代入即可求出目標函數的最值，進而給出z的取值范圍．

解答：解：∵向量

a

=（x+z，3），

b

=（2，y-z），且

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=2x+2z+3y-3z=0，∴z=2x+3y．
∵滿足不等式|x|+|y|≤1的平面區域如下圖所示：
由圖可知當x=0，y=1時，z取最大值3，
當x=0，y=-1時，z取最小值-3，
故z的取值范圍為[-3，3]，
故答案為[-3，3]．

點評：本題考查的知識點是數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，簡單線性規劃的應用，其中利用平面向量的垂直的坐標運算法則，求出目標函數的解析式是解答本題的關鍵．