Question

（2012•河北區一模）如圖，在三棱柱BCD-B₁C₁D₁與四棱錐A-BB₁D₁D的組合體中，已知BB₁⊥平面BCD，四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=120°，AB=

2

，AD=3，BB₁=1．
（1）設O是線段BD的中點，求證：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）求直線AB₁與平面ADD₁所成的角．

Answer 1

分析：（1）取B₁D₁的中點E，連接AC，AE，C₁E，先證明四邊形C₁EAO為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理證明C₁O∥平面AB₁D₁即可；
（2）補圖構成直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，作B₁F⊥A₁D₁于F，先利用線面垂直的判定定理證明B₁F⊥平面ADD₁，從而找到線面角的平面角∠B₁AF，最后在直角三角形中計算此角即可

解答：解：（1）取B₁D₁的中點E，連接AC，AE，C₁E
∵C₁E∥CO，C₁E=CO，CO=OA
∴C₁E∥OA，C₁E=AO
∴四邊形C₁EAO為平行四邊形，
∴C₁O∥EA，又EA?平面AB₁D₁；
∴C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）如圖：補圖構成平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，作B₁F⊥A₁D₁于F，
連AF，∵B₁F⊥DD₁，DD₁∩A₁D₁=D₁，
∴B₁F⊥平面ADD₁，
∴∠B₁AF為直線AB₁與平面ADD₁所成的角
在△B₁AF中可計算出 AB1=

2+1

=

3

，B1F=

2

×sin60°=

6

2

∴在△B₁AF中 sin∠B1AF=

B1F

AB1

=

2

2

∴直線AB₁與平面ADD₁所成的角為

π

4

．

點評：本題主要考查了線面平行的判定定理及其應用，線面垂直的判定定理及其應用，直線與平面所成的角的作法、證法、算法，將空間問題轉化為平面問題的思想方法