Question

下列命題：
①若

a

與

b

共線，則存在唯一的實數λ，使

b

=λ

a

；
②空間中，向量

a

、

b

、

c

共面，則它們所在直線也共面；
③P是△ABC所在平面外一點，O是點P在平面ABC上的射影．若PA、PB、PC兩兩垂直，則O是△ABC垂心．
④若A，B，C三點不共線，O是平面ABC外一點．

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

+

1

3

OC

，則點M一定在平面ABC上，且在△ABC內部．
上述命題中正確的命題是

③④

．

Answer 1

分析：應用平行向量與共線向量，向量的共線定理等知識點，根據向量共線的定義和性質對①②④命題逐一進行判斷，對于③，利用線面垂直的判定和性質定理進行證明，即可得到答案．

解答：解：①中的

a

≠

0

這一條件缺少，于是①錯．
對于②，因為向量可以任意平移，可知②錯；
③當PA，PB，PC兩兩互相垂直時，則PA⊥平面PBC，則PA⊥BC，
又由PO⊥底面ABC，則PO⊥BC，進而BC⊥平面PAO，即AO⊥BC，
同理可證BO⊥AC，CO⊥AB，故O是△ABC的垂心，即③對；
④中A、B、C、M四點共面．
等式

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

+

1

3

OC

兩邊同加

MO

，
則

1

3

（

MO

+

OA

）+

1

3

（

MO

+

OB

）+

1

3

（

MO

+

OC

）=

0

，
即

MA

+

MB

+

MC

=

0

，

MA

=-（

MB

+

MC

）則

MA

、

MB

、

MC

共面，
又M是三個有向線段的公共點，
則點M一定在平面ABC上，且在△ABC內部．
故④是真命題．
故答案為：③④

點評：本題考查命題的真假判斷與應用．在解答向量問題時，向量共線（平行）是最常見的情況之一，我們一定要注意向量平行分為三種情況：①兩個非零向量同向；②兩個非零向量反向；③零向量與任何一個向量都共線（平行）．其中第③種情況，最容易被忽視．