Question

【題目】已知橢圓過點，為內一點，過點的直線交橢圓于、兩點，，為坐標原點，當時，．

（1）求橢圓的方程；

（2）求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先由橢圓過點得出值,再由可得出點在橢圓上,代入橢圓方程可得出的值,即可得出橢圓的方程；

（2）當直線斜率為0時,易得；當直線斜率不為0時,設直線的方程為,并設點、,將直線的方程與橢圓的方程聯立,并列出韋達定理,由可得,由已知條件得,將關系式代入韋達定理并消去,于是可得出的不等式,即可求出的取值范圍.

解:（1）由于,則、、三點共線,當時,則,

因為,

所以點和點在橢圓上,

因為橢圓過點,則,

將點的坐標代入橢圓的方程得,解得,

因此,橢圓的方程為；

（2）當直線斜率為0時,直線的方程為,則,,所以；

當直線斜率不為0時,設直線的方程為,設點、,

將直線的方程代入橢圓的方程并化簡得,

由韋達定理可得,,

因為,,且,

所以,則,由于,所以,

所以,則,

由,

上述兩式相除得,

由于,化簡得,解得,

所以,

綜上,實數的取值范圍是.