Question

四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=AD=

1

2

CD，AB∥CD，∠ADC=90°．
（1）在側棱PC上是否存在一點Q，使BQ∥面PAD？說明理由．
（2）求PB與面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）延長DA交CB延長線于E，連接PE，由已知可得B為EC中點，進而根據Q為CD中點，推斷出BQ∥PE，最后利用線面平行的判定定理得出BQ∥PAD
（2）令CD=2a，由V_B-PCD=V_P-BCD，進而表示出B到面PCD距離，則sinθ的值可得．

解答： 解：（1）存在Q為PC中點
證明：延長DA交CB延長線于E，連接PE，
∵AB∥CD，AB=

1

2

CD，
∴B為EC中點；
做Q為CP中點，
∴BQ∥PE
又BQ?面PAD，PE?面PAD
∴BQ∥平面PAD
（2）令CD=2a，
V_P-BCD=

1

3

|PA|•S△_DBC=

1

3

×a×

1

2

×2a×a=

a3

3

，
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵∠ADC=90°
∴CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，
∴PD=

AD2+AP2

=

2

a，
設B到面PCD距離為d，
∴S_△PDC=

1

2

•2a•

2

a=

2

a²
由V_B-PCD=V_P-BCD=

1

3

•d•

2

a²=

a3

3

∴d=

2

2

a，
故sinθ=

d

PB

=

2 2 a

2 a

=

1

2

點評：本題主要考查了線面平行的判定定理，點到面的距離．考查了學生基礎知識的綜合運用．