Question

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．
（1）求證：AB∥EF；
（2）求證：平面BCF⊥平面CDEF；
（3）若AB=4，AD=EF=ED=2，CF中點為M，求直線ED與平面MBD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的性質,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，得到AB∥平面CDEF，由此能證明AB∥EF．
（2）由已知條件推導出DE⊥BC，從而得到BC⊥平面CDEF，由此能證明平面BCF⊥平面CDEF．
（3）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線ED與平面MBD所成角的正弦值．

解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，
∵AB不包含于平面CDEF，CD?平面CDEF，
∴AB∥平面CDEF．…（4分）
∵AB?平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF=EF，
∴AB∥EF．．…（5分）
（2）證明：∵DE⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴DE⊥BC．．…（7分）
∵BC⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE?平面CDEF，
∴BC⊥平面CDEF．…（8分）
∵BC?平面BCF，∴平面BCF⊥平面CDEF．…（9分）
（3）解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DE為z軸，
建立空間直角坐標系，．…（10分）
∵AB=4，AD=EF=ED=2，CF中點為M，
∴D（0，0，0），E（0，0，2），F(xiàn)（0，2，2），
C（0，4，0），M（0，3，1），B（2，4，0），
∴

DE

=(0，0，2)，

DM

=(0，3，1)，

DB

=(2，4，0)，
設平面MBD的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • DM =3y+z=0 n • DB =2x+4y=0

，取x=2，得

n

=(2，-1，3)，…（12分）
設直線ED與平面MBD所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

DE

，

n

＞|=|

6

2 4+1+9

|=

3 14

28

．
∴直線ED與平面MBD所成角的正弦值為

3 14

28

．…（13分）

點評：本題考查直線平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．