Question

【題目】已知函數，.

（1）若，證明：；

（2）若，有且只有個零點，求實數的取值范圍；

（3）若，，，求正整數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（3）2

【解析】

（1）將代入，求導后根據單調性求出函數的最大值，即可證明；

（2）由有且只有個零點，對分類討論，得的極大值大于，得出實數的取值范圍，再根據（1）驗證由有且只有個零點即可；

（3）構造函數，根據，求出函數的最大值，再代入，即可得到正整數的最小值

（1）由題知，，，

所以，當時，，在上單調遞增；

當時，，在上單調遞減；

所以；

（2）因為，

當時，，在上單調遞增，不可能有個零點，

當時，令，解得，

所以，當時，，在上單調遞增；

當時，，在上單調遞減；

所以，

若只有個零點，則，解得：，

由（1）知：，所以，令，

解得：或，

所以，存在，滿足；

存在，滿足；

所以在和上個恰有個零點，符合題意，

綜上，所求實數的取值范圍為；

（3）令，

所以，

，.

令，得，所以當時，，當時，.

因此函數在上是增函數，在是減函數，

所以，

令，因為，，

又因為在上是減函數，所以當時，，

所以整數的最小值為.