Question

【題目】已知拋物線，過拋物線焦點的直線分別交拋物線和圓于點(自上而下)．

（1）求證：為定值；

（2）若、、成等差數列，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）討論當直線過焦點且垂直于軸時，四點坐標可直接求出，可求得，當直線過焦點且不垂直于軸時，設直線方程為，聯立拋物線方程，運用韋達定理和拋物線的定義，即可得到定值；

（1）由、、成等差數列，可得，從而可得，而，，列方程可求出斜率，從而可求出直線方程.

（1）由題知，焦點，圓半徑；

①當斜率不存在時，，交點，此時；

②當斜率存在時，設，

聯立，消去得

由韋達定理得，顯然恒成立

由拋物線定義得，同理，

所以．

（2）由成等差數列，得

所以弦長

由（1）知顯然斜率存在，由拋物線定義得

故，解得，

所以直線的方程為．