Question

【題目】對于定義在區(qū)間D上的函數(shù):若存在閉區(qū)間和常數(shù)e，使得對任意，都有，且對任意，當時，恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“平底型”函數(shù).

（1）判斷函數(shù)和是否為R上的“平底型”函數(shù)？并說明理由；

（2）若函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，求m和n的值.

Answer 1

【答案】（1）是平底型函數(shù)，不是平底型函數(shù)，理由見解析（2）

【解析】

（1）先分段討論去絕對值符號，再求函數(shù)的值域，再結合“平底型”函數(shù)的性質判斷即可得解；

（2）由函數(shù)為“平底型”函數(shù)等價于，則可解出的值，然后再將值代入運算即可得解.

解：（1）對于函數(shù)，

當時， ，

當時，，

故為“平底型”函數(shù)，

對于函數(shù)，

當時，，

當時，，

即不存在閉區(qū)間，使當時，恒成立，

故不為“平底型”函數(shù)；

（2）由“平底型”函數(shù)定義可知，存在閉區(qū)間和常數(shù)e，使得對任意，都有，

即，

所以恒成立，

即恒成立，

即，解得或 ，

①當時，，

當時，，當時，，

即函數(shù)為“平底型”函數(shù)，

②當時，，

當時，，當時，，

即函數(shù)不為“平底型”函數(shù)，

綜上可得：函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，則.