Question

【題目】圓周上有1994個點，將它們染成若干種不同的顏色，且每種顏色的點數(shù)各不相同.今在每種顏色的點集中各取一個點，組成頂點顏色各不相同的圓內接多邊形，為了要使這樣的多邊形個數(shù)最多，應將1994個點染成多少種不同的顏色？且每種顏色的點集各含有多少個點？

Answer 1

【答案】染成61種顏色, 各種顏色的點數(shù)依次為2，3，…，19，20，22，23，…，61，62，63，

【解析】

設1994個點可染成種顏色，且各種顏色的點數(shù)依小到大為，且滿足，則可組成頂點顏色各不相同的多邊形個數(shù)為.

（一）要使的值最大，則必須滿足：

1. .事實上，若，因，與的值最大相矛盾.

2. 的個值中，僅有一個等于2，其余個值都等于1.為此，

（1）.事實上，若不然則必存在某一正整數(shù)使.取，，，.

而 .

故當以，分別換，時，值增大，矛盾.

（2）恰有一個.為此

（i）至多有一個.若不然，則存在正整數(shù)，.，有，同時成立.取，，有，且.易證.以，換，時，的值增大，矛盾.

（ii）若，有 .由于與為一奇一偶且，997為素數(shù)，所以只有，，得，即說明以2和495換時值增大.矛盾.所以，至少有一個成立.由（i），（ii）立得所證.

3. .由2知恰有一個，然而只能等于1不能等于2.若不然，則有.則.所以，.由于1993為素數(shù)，易求得.此與最大顯然矛盾.設有某一數(shù)使得，則.若，取，則，，且.，.故.以2和換，值增大，矛盾.故.

（二）由（一）知可設各種顏色的點數(shù)依次為2，3，…，，，，…，，，（）.

有.

得.

解得.

取，有.故可將1994個點染成61種顏色，各種顏色的點數(shù)依次為2，3，…，19，20，22，23，…，61，62，63，此時所得多邊形為61邊形，其個數(shù)為最多.