Question

【題目】（本小題滿分12分）

已知函數， ．

(1)求函數的單調區間；

(2)當時，過原點分別作曲線與的切線， ，已知兩切線的斜率互為倒數，證明： ；

(3)設，當， 時，求實數的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間是，單調遞減區間是；（2）證明見解析；（3）.

【解析】（1）求原函數的導函數，對分類討論可得原函數的單調區間；（2）背景為指數函數與對數函數關于直線對稱，主要考查利用導函數研究曲線的切線及結合方程有解零點存在性定理的應該用求參數的問題，得到不等式的證明；（3）考查利用導數處理函數的最值和不等式的恒成立求參數的范圍問題，求導過程中用到了課后習題 這個結論，考查學生對知識的掌握程度.

（1）依題意，函數的定義域為，對求導，得．

①若，對一切有，函數的單調遞增區間是．

②若，當時， ；當時， ．

所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是．

（2）設切線的方程為，切點為，則，

，所以， ，則．

由題意知，切線的斜率為， 的方程為．

設與曲線的切點為，則，

所以， ．

又因為，消去和后，整理得．

令，則， 在上單調遞減，在上單調遞增．

若，因為， ，所以，

而在上單調遞減，所以．

若，因為在上單調遞增，且，則，

所以（舍去）．

綜上可知， ．

（3）， ．

①當時，因為，所以，

在上遞增， 恒成立，符合題意．

②當時，因為，所以在上遞增，且，則存在，使得．

所以在上遞減，在上遞增，又，所以不恒成立，不合題意．

綜合①②可知，所求實數的取值范圍是．