Question

)設為奇函數，為常數．

(1)求的值；

(2)判斷在區間（1，＋∞）內的單調性，并證明你的判斷正確；

(3)若對于區間 [3,4]上的每一個的值，不等式>恒成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）在（1，+∞）上是增函數（3）

【解析】

試題分析：解：（1）∵為奇函數，

∴對于定義域中任意實數恒成立，

即    2分

∴ ∴ ∴

∴對于定義域中任意實數恒成立

∵不恒為0，∴ ∴   4分

當時不符題意

∴   5分

（2）由（1）得

設1＜x₁＜x₂，則

f（x₁）－f（x₂）＝log－log＝log

＝log  7分

∵  1＜x₁＜x₂，∴  x₂－x₁＞0，

∴ （x₁x₂－1）＋（x₂－x₁）＞（x₁x₂－1）－（x₂－x₁）>0

即>1．   9分

∴ f（x₁）－f（x₂）<0即f（x₁）＜f（x₂），在（1，+∞）上是增函數  10分

（3）由(1),不等式>可化為，即

由題意得對于區間[3,4]上的每一個的值，恒成立  2分

令，則區間[3,4]上為增函數

∵   ∴  15分

考點：函數性質的綜合運用

點評：解決的關鍵是對于函數奇偶性和單調性的靈活運用，以及利用分離參數的思想求解函數的最值得到范圍。屬于中檔題。