Question

【題目】已知函數，，．

（1）求函數的極值點；

（2）已知T(，)為函數，的公共點，且函數，在點T處的切線相同，求a的值；

（3）若函數在(0，)上的零點個數為2，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）(2)a = e. （3）a > e.

【解析】

(1)對函數求導，得到導函數的零點和在零點兩側的單調性，進而得到極值點；（2）點T（x0，y0）為函數，的公共點，且函數，在點T處的切線相同，所以 且，聯立兩式消參得到，從而求出零點，進而得到參數值；（3）設函數，.則，令得，，函數單調故不可能有2個零點，結合函數單調性證明a > e時有2個零點即可.

（1）因為，所以.

令得，x = -1，

當時，；當時，，

所以函數的極小值點為x = -1，不存在極大值點.

（2）依題意.

因為點T（x0，y0）為函數，的公共點，且函數，在點T處的切線相同.

所以 且，

由②得，，代入①得，，顯然，

所以.

因為滿足該方程，且函數為單調增函數，所 以，，a = e.

（3）設函數，.

則，

令得，.

當時，，所以為（0，+）上單調增函數，至多1個零點，不符，舍去；

當a > 0時，得，，由（1）知，為（-1，+）上單調增函數，所以在（0，+）上有唯一解，記為， 即的根為.

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

因為函數的零點個數為2.

下證：a > e時，函數在（0，+）上的零點個數為2.

因為，

，

，

根據的單調性結合零點存在性定理知，函數在（，x1）上存在一個零點，在（x1，2a）上存在一個零點，故函數在（0，+）上的零點個數為2.

所以a > e.