Question

設M（-5，0），N（5，0），△MNP的周長是36，則△MNP的頂點P的軌跡方程為

x2

169

+

y2

144

=1（y≠0）

．

Answer 1

分析：設P（x，y），易求|MN|=10，PM|+|PN|=26，根據橢圓定義可判斷點P軌跡為以M、N為焦點的橢圓，但不與M、N共線，從而可求得動點P的軌跡方程．

解答：解：設P（x，y），由M（-5，0），N（5，0）知|MN|=10，
由△MNP的周長是36，得|PM|+|PN|=36-|MN|=36-10=26＞10，
所以頂點P的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，但不與M、N共線，
設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
則2a=26，c=5，所以a=13，b²=a²-c²=13²-5²=144，
所以△MNP的頂點P的軌跡方程為

x2

169

+

y2

144

=1（y≠0）．

點評：本題考查橢圓的定義及其標準方程的求解，解決本題的關鍵是準確理解橢圓定義，注意檢驗特殊點．