Question

【題目】已知數列的前項和為，且.

（1）證明是等比數列，并求的通項公式；

（2）求；

（3）設,若對恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

（1）設，將已知條件中的式子進行轉化，可得，從而證得其為等比數列，之后利用等比數列的通項公式求得，進而求得；

（2）利用錯位相減法對數列求和，求得；

（3）根據題意求得，將恒成立轉化為，利用作差比較法，求得，觀察得出，進而求得的范圍.

（1）設，則只需證明為等比數列即可，

因為為常數，

所以數列是公比為的等比數列，且首項，

則，所以.

（2）由（1）知 ①

②

①-②得，

（3）由（2）得，，

要使得對恒成立，只需，

因為，

所以，當時，，即，

當時，，即，所以，

所以.