Question

【題目】已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為3．

（1）求橢圓C的方程；

（2）橢圓C上是否存在點P，使得過點P引圓O：x2+y2=b2的兩條切線PA、PB互相垂直？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）所求橢圓方程為．

（2）橢圓C上存在四個點分別由這四個點向圓O所引的兩條切線均互相垂直.

【解析】

(1)利用橢圓的性質可求解出a、b；

（2）先假設存在點P,過點P引圓O的切線,連接OA,OB, 則四邊形PAOB是邊長為b的正方形，點P是以O為圓心,為半徑的圓與橢圓C的交點，構造方程組即可解得P的坐標.

(1) ,

(2)假設存在點P,過點P引圓O的切線,連接OA,OB, 則四邊形PAOB是邊長為b的正方形,點P為以O為圓心,為半徑的圓與橢圓C的交點.

即 解得

所以點P的坐標是