Question

已知橢圓mx²+ny²=1，直線y=x+1與該橢圓相交于P和Q兩點，且OP⊥OQ，|PQ|=

10

2

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：把直線方程與橢圓方程方程聯立即可得到根與系數的關系，由

OQ

⊥

OP

得x₁x₂+y₁y₂=0，再利用弦長公式即可得出．

解答：解：依題意，點P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）的坐標滿足方程組

mx2+ny2=1 y=x+1

，
化為（m+n）x²+2nx+n-1=0，
∴x1+x2=-

2n

m+n

，x1x2=

n-1

m+n

           
由

OQ

⊥

OP

得x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁x₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，即2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0，
∴

2(n-1)

m+n

-

2n

m+n

+1=0，化為m+n=2．
又由|PQ|=

10

2

，∴

10

2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[( -2n m+n )2- 4(n-1) m+n ]

，
把m+n=2代入整理為4n²-8n+3=0，解得n=

3

2

或

1

2

．
當n=

3

2

時，m=

1

2

；當n=

1

2

時，m=

3

2

．
故所求橢圓方程為

x2

2

+

3y2

2

=1，或

3x2

2

+

y2

2

=1．

點評：熟練掌握直線與橢圓相交問題轉化為直線方程與橢圓方程方程聯立可得根與系數的關系、

OQ

⊥

OP

?x₁x₂+y₁y₂=0、弦長公式等是解題的關鍵．