Question

已知橢圓mx²+ny²=1與直線x+y=1相交于A、B兩點，M為AB的中點，O為坐標原點，若直線OM的斜率為

2

，則

n

m

的值為（　　）

• A．

  2

  2

• B．

  1

  2

• C．

  2

• D．2

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），由題意可得

y1+y2

x1+x2

，

y2-y1

x2-x1

的值，將A，的坐標代入橢圓方程得到兩式相減可得m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，將值代入求出

n

m

的值．

解答：解：設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀），
由題意可得

y1+y2

x1+x2

=

y0

x0

=

2

，

y2-y1

x2-x1

=-1  ①
因為A，B在橢圓上
所以mx₁²+ny₁²=1，mx₂²+ny₂²=1
兩式相減可得m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0  ②
所以

y1-y2

x1-x2

=-

m(x1+x2)

n(y1+y2)

，
即-1=-

m(x1+x2)

n(y1+y2)

，
所以-1=-

m

n

•

2

2

n

m

=

2

2

故選A．

點評：本題主要考查了直線與橢圓相交的性質的應用，要注意靈活應用題目中的直線的中點及直線的斜率的條件的表示，本題中設而不求的解法是處理直線與圓錐取消相交中涉及到斜率與中點時常用的方法，比較一般聯(lián)立方程得方法可以簡化基本運算