Question

【題目】雙紐線最早于1694年被瑞士數學家雅各布·伯努利用來描述他所發現的曲線.在平面直角坐標系中,把到定點,距離之積等于（）的點的軌跡稱為雙紐線C.已知點是雙紐線C上一點,下列說法中正確的有（ ）

①雙紐線C關于原點O中心對稱； ②；

③雙紐線C上滿足的點P有兩個； ④的最大值為.

A.①②B.①②④C.②③④D.①③

Answer 1

【答案】B

【解析】

對①,設動點,把關于原點對稱的點代入軌跡方程,顯然成立；

對②,根據的面積范圍證明即可.

對③,易得若則在軸上,再根據的軌跡方程求解即可.

對④,根據題中所給的定點,距離之積等于,再畫圖利用余弦定理分析中的邊長關系,進而利用三角形三邊的關系證明即可.

對①,設動點,由題可得的軌跡方程,把關于原點對稱的點代入軌跡方程顯然成立.故①正確；

對②,因為,故.

又,所以,

即,故.故②正確；

對③, 若則在的中垂線即軸上.

故此時,代入，

可得,即,僅有一個.故③錯誤；

對④,因為,故,

即,

因為,

故.

即,

所以.

又,當且僅當共線時取等號.

故,

即,解得.故④正確.

故①②④正確.

故選：B