Question

已知命題p：不等式|x-m|+|x-1|＞1的解集為R，命題q：f（x）=log_（3+m）x是（0，+∞）上的增函數．若“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，則實數m的取值范圍是

（-3，-2）∪[0，2]

．

Answer 1

分析：根據題意，首先分析、計算可得P、Q為真假命題時，m的取值范圍，進而由題意“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，可得P、Q必然一真一假，分P真Q假與P假Q真兩種情況討論，可得每種情況下，m的取值范圍，綜合求并集可得答案．

解答：解：對于P，對于不等式|x-m|+|x-1|＞1，
由絕對值不等式的二性質可得：|x-m|+|x-1|≥|m-1|，
若|x-m|+|x-1|＞1的解集為R，只需|m-1|＞1，解可得m＜0或m＞2，
故當m＜0或m＞2時，命題p為真命題，當0≤m≤2時，命題p為假命題；
對于Q，
若f（x）=log_（3+m）x是（0，+∞）上的增函數，則3+m＞1，解可得m＞-2，
若f（x）=log_（3+m）x是（0，+∞）上的減函數，則0＜3+m＜1，解可得-3＜m＜-2，
故當m＞-2時，命題Q為真命題，當-3＜m＜-2時，命題Q為假命題；
若“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，則P、Q必然一真一假，
當P真Q假時，m的取值范圍為{m|m＜0或m＞2}∩{m|-3＜m＜-2}=（-3，-2）；
當P假Q真時，m的取值范圍為{m|0≤m≤2}∩{m|m＞-2}=[0，2]；
綜合可得，m的取值范圍為（-3，-2）∪[0，2]．
故答案為（-3，-2）∪[0，2]．

點評：本題考查命題真假的判斷的運用，解題時的易錯點為分析命題Q時，首先要保證對數函數底數的意義，即0＜3+m＜1或3+m＞1．