Question

已知命題p：不等式|x|+|x-1|＞a的解集為R，命題q：f（x）=-（5-2a）^x是減函數，若p，q中有且僅有一個為真命題，則實數a的取值范圍是

[1，2）

．

Answer 1

分析：由題意可先對兩個命題進行轉化解出使命題成立的a的取值范圍，再由p，q中有且僅有一個為真命題，分為兩類“p真，q假”與“p假，q真”分別解出符合條件的a的取值范圍，再求它們的并集即可得到所求的實數a的取值范圍

解答：解：由題意，命題p：不等式|x|+|x-1|＞a的解集為R，由于|x|+|x-1|≥1，故a＜1
命題q：f（x）=-（5-2a）^x是減函數．可得5-2a＞1，解得a＜2
∵p，q中有且僅有一個為真命題
若p真，q假，此時實數a的取值范圍是∅
若p假，q真，此時實數a的取值范圍是1≤a＜2
綜上得p，q中有且僅有一個為真命題，則實數a的取值范圍是[1，2）
故答案為[1，2）

點評：本題考查了絕對值不等式與指數函數的單調性，命題真假的判斷，解題的關鍵是理解題中p，q中有且僅有一個為真命題，正確轉化是解題的重點