Question

已知橢圓的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切.  
（1）求橢圓C₁的方程；  
（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點F₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直l₁于點P，線段PF₂垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；  
（3）當P不在x軸上時，在曲線C₂上是否存在兩個不同點C、D關于PF₂對稱，若存在，求出PF₂的斜率范圍，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵∴∴
∵直線相切，
∴∴
∴  
∴橢圓C₁的方程是    
（Ⅱ）∵MP=MF₂，∴動點M到定直線的距離等于它到定點F₁（1，0）的距離，
∴動點M的軌跡是C為l₁準線，F₂為焦點的拋物線 
∴點M的軌跡C₂的方程為    
（3）顯然PF₂不與x軸垂直，設C (,c)，D (,d)，且c≠d，則 =．
若存在C、D關于PF₂對稱，則=-    
∵≠0，∴c+d≠0設線段CD的中點為,
則x₀=(+)=,y₀=，
將x₀代入PF₂方程求得：=-( -)=(-)
∵-=-≠1∴ ≠()=y₀
∴線段CD的中點不在直線上．
所以在曲線C₂上不存在兩個不同點C、D關于PF₂對稱