Question

【題目】如圖，拋物線的準線為，取過焦點且平行于軸的直線與拋物線交于不同的兩點，過作圓心為的圓，使拋物線上其余點均在圓外，且．　

（Ⅰ）求拋物線和圓的方程；

（Ⅱ）過點作直線與拋物線和圓依次交于，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1) ,;(2)16.

【解析】試題分析：（1）通過平面幾何性質及圓錐曲線定義求軌跡方程；（2）借助勾股定理及弦長公式表示目標，然后利用二次函數求最值.

試題解析：

（Ⅰ） 因為拋物線的準線為;

所以解得，所以拋物線的方程為．

當時，由得： ，不妨設在左側，則，

由題意設圓的方程為： ，

由且知： 　，　

∴是等腰直角三角形且，

∴　， ，則，

∴　圓的方程為： ．

（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在,設直線的方程為: ，

圓心到直線的距離為: ，

∴．

由得： ，

設,由拋物線定義有: ，

∴，

設，則: 且，

∴　當即時, 的最小值為.