Question

設函數f(x)＝，g(x)＝f(x)－ax，x∈[1,3]，其中a∈R，記函數g(x)的最大值與最小值的差為h(a)．
(1)求函數h(a)的解析式；
(2)畫出函數y＝h(x)的圖象并指出h(x)的最小值．

Answer 1

（1）h(a)＝
（2）見解析

解：(1)由題意知g(x)＝
當a<0時，函數g(x)是[1,3]上的增函數，
此時g(x)_max＝g(3)＝2－3a，
g(x)_min＝g(1)＝1－a，
所以h(a)＝1－2a；
當a>1時，函數g(x)是[1,3]上的減函數，
此時g(x)_min＝g(3)＝2－3a，
g(x)_max＝g(1)＝1－a，
所以h(a)＝2a－1；
當0≤a≤1時，若x∈[1,2]，
則g(x)＝1－ax，有g(2)≤g(x)≤g(1)；
若x∈(2,3]，則g(x)＝(1－a)x－1，
有g(2)<g(x)≤g(3)，
因此g(x)_min＝g(2)＝1－2a，
而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a，
故當0≤a≤時，g(x)_max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a；
當<a≤1時，g(x)_max＝g(1)＝1－a，有h(a)＝a.
綜上所述，h(a)＝
(2)畫出y＝h(x)的圖象，如圖所示，數形結合可得h(x)_min＝h()＝.