Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）求函數在點點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（Ⅰ）將代入解析式，求出切點坐標，對函數求導，將代入導函數，即可求得斜率，由點斜式方程求出切線方程；

（Ⅱ）將不等式化簡為一側為0的形式，構造新的函數，對新函數求導分析，由于導函數正負無法直接判斷，所以對導函數進行求導分析，對參數進行分類討論，從而逐步探究函數的單調性等性質，求出參數的取值范圍.

（Ⅰ）∵，∴，

∴，，

∴函數在點點處的切線方程為.

（Ⅱ），令，

則，，

①若，則，∴在上單調遞增，

∴，

∴在上單調遞增，

∴，∴，

即，不符合題意.

②若，則當時，，

∴在上單調遞增，

∴，

∴在上單調遞增，

∴，∴，

即，不符合題意.

③若，則當時，，

∴在上單調遞減，

∴，

∴在上單調遞減，

∴，∴，

即，符合題意.

綜上所述，的取值范圍是.