Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過點，其傾斜角為，以原點為極點，以軸為非負半軸為極軸，與坐標系取相同的長度單位，建立極坐標系.設曲線的極坐標方程為.

（1）若直線與曲線有公共點，求傾斜角的取值范圍；

（2）設為曲線上任意一點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）利用互化公式即可把曲線C的極坐標方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0化為直角坐標方程．直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入曲線C的直角坐標方程可得t2﹣8tcosα+12=0，根據(jù)直線l與曲線C有公共點，可得△≥0，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

（2）曲線C的方程x2+y2﹣2x﹣3=0可化為（x﹣1）2+y2=4，參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)），設M（x，y）為曲線上任意一點，可得x+y=1+2cosθ+2sinθ，利用和差公式化簡即可得出取值范圍．

詳解：（1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程為，

直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

將參數(shù)方程代入，整理，

∵直線與曲線有公共點，∴，

∴，或，∵，

∴的取值范圍是

（2）曲線的方程可化為，

其參數(shù)方程為（為參數(shù)），

∵為曲線上任意一點，

∴ ，

∴的取值范圍是